1 − 2 + 3 − 4 + …: Разлика помеѓу преработките
| [проверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Нова страница |
Средување на наводите |
||
Ред 13:
== Дивергенција ==
Членовите на редот (1, −2, 3, −4, ...) не тежнеат кон [[0 (број)|0]], па затоа {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} дивергира според примена на [[Тест на општ член|тестот на општ член]]. За понатамошо разгледување, корисно би било да се утврди дивергенцијата на основно ниво. По дефииниција, конвергенцијата или дивергенцијата на еден бесконечен ред е условена од конвергенцијата или дивергенцијата на неговите низи од делумни суми. Според тоа, делумните суми на редот {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} се:<ref>Hardy
:1 = '''1''',
:1 − 2 = '''−1''',
Ред 25:
== Хеуристика за сумирање ==
=== Стабилност и линеарност ===
Бидејќи членовите 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... следат проста законитост, редот {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} е можно да се преобрази преку преместување и додавање на член по член, со цел да му се припише некое нумеричко значење. Ако изразот {{nowrap|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + ...}} за некој зададен број ''s'' има смисол, тогаш следните формални преобразби наведуваат на тоа дека {{nowrap|1=''s'' = {{frac|1|4}}:}}<ref>Hardy (стр. 6)
: <math>
Ред 68:
На тој начин, методот за сумирање којшто го содржи Кошиевиот прооизвод на два реда и дава сума {{nowrap|1=1 − 1 + 1 − 1 + ... = {{frac|1|2}},}} исто така ја дава и сумата {{nowrap|1=1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}}. Со резултатот добиен во претходниот дел, ова подразбира еквивалентност меѓу сумирањето на {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} и {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} со метои коишто се линеарни, стабилни и го содржат Кошиевиот производ.
Теоремата на Чезаро е префинет пример. Редот {{nowrap|1=1 − 1 + 1 − 1 + ...}} може да биде сумиран по Чезаро и е наречен {{nowrap|(C, 1)-сумирачки,}} додека {{nowrap|1=1 − 2 + 3 − 4 + ...}} бара подлабока примена на теоремата на Чезаро<ref>Hardy, стр. 3
==
=== Чезаро и Хелдер ===
[[Податотека:Pm1234 means.svg|мини|десно|Податоци за сумата (H, 2) од {{frac|1|4}}]]
Ред 83:
Оваа низа од средини не конвергира, па така 1 − 2 + 3 − 4 + ... не може да се сумира по Чезаро.
Постојат две познати воопштувања на сумирањето по Чезаро: концептуално попросто од нив е низата од методи (H, ''n'') за [[природен број|природни броеви]] ''n'', акде што сумата (H, 1) е сума по Чезаро, а понатамошните методи ја повторуваат пресметката на средини. Во примерот погоре, парните средни вредности конвергираат до {{frac|1|2}}, додека сите непарни средни вредности се еднакви на 0; според тоа, средните вредности од средините конвергираат до средната вредност меѓу 0 и {{frac|1|2}}, т.е. до {{frac|1|4}}.<ref>Hardy, стр. 9.
Буквата „H“ претставува кратенка од презимето на [[Ото Хелдер]], којшто во 1882 година прв го докажал она коешто математичарите денес го сметаат за врска меѓу [[Абелови средни вредности|Абеловото сумирање]] и сумирањето (H, ''n''). Редот {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} бил првиот пример којшто го употребил за таа цел.<ref>Ferraro, стр. 118; Tucciarone, стр. 10. Ferraro
Другото често формулирано воопштување на сумирањето по Чезаро е низата од методи (C, ''n''). Веќе беше докажано дека сумирањето (C, ''n'') и сумирањето (H, ''n'') секогаш даваат ист резултат, но тие всушност имаат различна историска позадина. Во 1887 година, Чезаро бил блиску до определувањето на сумирањето (C, ''n''), но тој дал само неколку примери. Подробно, тој ја пресметал сумата на {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...,}} во износ од {{frac|1|4}} со примена на метод којшто може да се преформулира како (C, ''n''), но во тоа време не бил познат како таков. Тој формално ги определил методите (C, n во 1890 година, со цел да даде поткрепа на неговата теорема дека Кошиевиот производ од ред со сума (C, ''n'') и ред со сума (C, ''m'') е еднаков на сумата (C, ''m'' + ''n'' + 1).<ref>Ferraro, стр. 123–128.</ref>
Ред 93:
Во извештај од 1749 година, [[Леонард Ојлер]] признал дека редот дивергира, но во секој случај е подготвен да ја пресмета неговата сума:
{{blockquote|1=...кога се вели дека сумата на редот 1−2+3−4+5−6 итн. е еднаква на {{frac|1|4}}, тоа мора да звучи парадоксално. Со собирање на 100 членови од овој ред, се добива збир 50, иако со додавањето на 101. член се добива збир +51, што далеку се разликува од {{frac|1|4}} и уште подалеку со зголемувањето на бројот на членови. Но, јас и порано забележав дека е неопходно на поимот ''сума'' да му се даде пошироко значење....<ref>Euler et al., стр. 2.
Ојлер предложил воопштување на поимот „сума на ред“ неколку пати. Во случајот со {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...,}} неговите идеи се слични со она што денес е познато како [[Абелови средни вредности|метод за сумирање по Абел]]:
Ред 101:
Постојат многу начин на коишто може да се воочи дека најмалку за [[апсолутна вредност|апсолутните вредности]] |''x''| < 1, Ојлер е во право дека:
:<math>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.</math>
Можно е да се изврши развој на десната страна во [[Тејлоров ред]] или да се примени формалниот процес на [[делење на полиноми]]. Започнувајќи од левата страна, може да се следи општата хеуристика прикажана погоре и двапати да се помножи по (1+''x'') или да се изврши [[коренување]] на гемоетрискиот ред {{nowrap|1 − ''x'' + ''x''<sup>2</sup> − ....}} Ојлер, исто така, предложил [[извод|диференцирање]] на последниот ред член по член.
Од современа гледна точка, редот 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + ... не определува [[функција (математика)|функција]] во точката {{nowrap|1=''x'' = 1,}} така што вредноста не може едноставно да се замени во добиениот израз. Поради тоа што функцијата е определена за сите {{nowrap||''x''| < 1,}}, може да се пресмета гранична вредност за ''x'' којшто тежнее кон 1, што всушност претставува дефиниција за Абеловата сума:
Ред 142:
Трикратниот Кошиев производ на редот {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} изнесува {{nowrap|1 − 3 + 6 − 10 + ...,}} т.е. алтернативен ред од [[триаголен број|триаголни броеви]], чијашто Абелова и Ојлерова сума е еднаква на {{frac|1|8}}.<ref>Kline, стр. 313.</ref> Четирикратниот Кошиев производ, пак, од редот {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} изнесува {{nowrap|1 − 4 + 10 − 20 + ...,}} што претставува алтернативен ред од [[тетраедален број|тетраедални бреови]], чијшто збир е еднаков на {{frac|1|16}}.
Друго воопштување на 1 − 2 + 3 − 4 + ... на малку поразличен начин е редот {{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + ...}} за други вреднсти на ''n''. Во случај ''n'' да има вредност на позитивен број, редовите од овој облик ги имаат следниве Абелови суми:<ref>Knopp, стр. 491;
:<math>1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}</math>
каде што ''B''<sub>''n''</sub> се [[Бернулиев број|Бернулиеви броеви]]. Кога ''n'' е парен број, равенството се сведува на:
Ред 155:
::0 = 1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + итн.
каде што ''n'' е позитивен број. Овде има нешто за коешто треба да се смееме, пријатели.“<ref>Grattan-Guinness, стр. 80.<ref/><ref>Видете
</blockquote>
| |||