Линеарна алгебра: Разлика помеѓу преработките

'''Линеарна алгебра''', назив за математичка дисциплина која разработува неколку суштински неразделни полиња, меѓу кои најбитни се: [[Пресликување#Линеарни пресликувања|линеарните пресликувања]], [[Векторски простор|векторските простори]] и [[Матрица|матриците]]. Иако, во споредба со други математички дисциплини, е релативно „млада“ теорија, линеарната алгебра нуди едноставни и ''елегантни'' решенија на математички проблеми за чие решавање инаку би се применувал гломазен и неефикасен математички апарат.

 

Сите процеси во рамките на линеарната алгебра се разгледуваат во структура на [[векторски простор]] или просто - простор. Особено внимание се обрнува на конечно димензионалните простори. Потоа се воведува поимот на [[Пресликување#Линеарни пресликувања|линеарно пресликување]] како специфичен вид на пресликување од еден векторски простор во друг.

 

: <math>\ f(x) = ax + b</math>, каде што <math>\ a,b \in \Bbb{R}</math> се параметри (фиксни) и <math>\ x \in \Bbb{R}</math>.

 

Една од најосновните и најелементарните делови на линеарната алгебра е теоријата на системи од линеарни равенки. Овој дел се бави со изнаоѓање на решенијата на систем линеарни равенки, најпрво со еднаков број равенки и непознати, а потоа и со различен. Да се реши системот равенки:

 

За таа цел се воведуваат два нови поими: [[матрица]] и [[детерминанта]]. Ако системот е ''квадратен'' (има ист број равенки и променливи) се применува [[Правилото на Крамер]], т.е. решението, доколку постои, може да се пресмета се детерминанти. Доколку системот не е квадратен, тогаш најпрво се проверува дали системот воопшто има решение, согласно [[Теорема на Кронекер-Капели|Теоремата на Кронекер-Капели]]. Доколку има, тоа се пресметува со помош на [[Гаусов метод на елиминација|Гаусовиот метод на елиминација на променливите]] во матрицата на системот. Со двете постапки се добиваат бараните броеви <math>r_1, r_2,..., r_m</math> кои се решенија на сите равенки во системот.

 

Векторските простори се основата на линеарната алгебра. Сета теорија сврзана за линеарната алгебра почнува и завршува во векторскиот простор. За проучување на својствата на овие простори се воведуваат ''линеарните пресликувања'' чија специфичност овозможува развој на силен математички апарат преку манипулацијата на овие пресликувања со [[Матрица|матрици]] и [[Детерминанта|детерминанти]]. Бидејќи сите промени кои настануваат во просторот, или попрецизно кажано - би настанале во просторот, се карактеризираат со одредено пресличување, „претумбација“, во просторот, затоа познавањето на својствата на просторите и линеарните пресликувања дефинирани во него се од пресудно значење при развојот на линеарната алгебра како [[Математика|математичка]] теорија.

 

Линеарните пресликувања се специфични по две својства: '''адитивност''' и '''хомогеност'''. Овие две својства се особено корисни при развојот на теоријата во рамките на линеарната алгебра зашто, бездруго, огромен дел од линеарната алгебра почива токму на овие две својства. Иако не се присутни и не се проучуваат само во рамките на линеарната алгебра, сепак линеарнит пресликувања ја имаат линеарната алгебра како за „своја“ гракна на [[математика]]та.