Теореми за средна вредност: Разлика помеѓу преработките
| [непроверена преработка] | [непроверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Ред 34:
=== Доказ ===
Функцијата <math>\ f </math> е [[Непрекинатост|непрекината]] на интервалот <math>\ [a,b]</math>, што значи дека постојат точки од интервалот во кои таа ги достигнува својата најмала и најголема вредност. Нека тие вредности ги означиме со <math>\ m </math> и <math>\ M</math> соодветно, т.е.
: <math>\ m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)</math>
: <math>\ M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>
* Ако <math>\ m=M</math>, тогаш заради вредноста на функцијата во крајните точки имаме: <math>\ f(x) = 0</math> за секоја точка од интервалот, што значи дека <math>\ f^\prime (x) = 0</math>, од каде следи точноста на тврдењето.
* Ако <math>\ m < M</math>, тогаш е точно барем едно од следниве тврдења: или <math>\ m < 0</math> или <math>\ M > 0</math> (ако <math>\ M < 0</math>, тогаш сигурно и <math>\ m < 0</math>; ако пак <math>\ m > 0</math>, тогаш сигурно и <math>\ M > 0</math>).
Да претпоставиме <math>\ M > 0</math>. Тогаш заради [[непренинатост]]а на <math>\ f</math>, постои точка <math>\ x_0 \in (a,b)</math> така што <math>\ M = f(x_0)</math>. Точката <math>\ x_0</math> не се наоѓа на крајот од интервалите, зашто тука функцијата по услов е еднаква на нула, додека <math>\ M = f(x_0)</math> под претпоставка е различен од нула. Сега избираме вредност <math>\ \delta = \min \{ \left | x-a \right | , \left | x-b \right | \}</math>. Тогаш на интервалот <math>\ \left ( x_0-\delta, x_0+\delta \right ) \subseteq (a,b)</math> функцијата <math>\ f</math> во точката <math>\ x_0</math> има локален максимум, па според Теоремата на Ферма следи дека: <math>\ f^\prime (x_0) = 0</math>; значи покажавме дека постои барем една точка од интервалот во која изводот на функцијата е нула. Истата постапка се применува и ако претпоставиме <math>\ m < 0</math>.
Дополнително, тврдењето од теоремата е точно и ако наместо условот <math>\ f(a)=0=f(b)</math>, исполнет е условот <math>\ f(a)=f(b)</math>.
== Теорема на Лагранж ==
| |||