Разлика помеѓу преработките на „Векторски простор“

нема опис на уредувањето
Векторскиот простор во основа е всушност '''множество''' во чии рамки елементите задоволуваат одредени својства. Векторскиот простор е еден од основните концепти на вишата математика. Со неговото воведување возможно е теоретски да се решат голем број проблеми, а како најбитно се овозможува '''димензионална апстракција''' - да се погледне ''преку'' третата димензија (односно максималниот број на просторни димензии кои човековиот мозок може сетилно да ги разграничи), т.е. да се разгледуваат простори со повеќе од три димензии. Иако неговата дефиниција и теориска разработка лежи во [[Линеарна алгебра|линеарната алгебра]], концептот на векторски простор е многу битен и во останатите делови на [[математика]]та, а посебно во [[Аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]].
 
Нека е дадено непразно множество <math>\ V</math> чии елементи ќе ги нaрекуваме '''вектори''' (тука настанува основната забуна: поимот [[вектор]] веќе не мора да се сфаќа како насочена отсечка од [[рамнина]]та или просторот, туку едноставно кажано сè, буквално сè што може да припаѓа на едно множество е вектор!); нека исто така ни е дадено едно [[поле]] <math>\ \Bbb{F}</math>, т.е. множество броеви кои има [[Алгебарски структури|структура на поле]], a чии пак елементи ќе ги нарекуваме '''скалари'''. Дефинираме операции: '''собирање''' (<math>\ ( + )</math> ) на два елемента <math>\ x, y \in V</math> така што збирот <math>\ x + y \in V</math>; и '''множење со скалар''' (<math>\ ( \cdot )</math>), т.е. множење на елемент <math>\ a \in \Bbb{F}</math> со елемент од <math>\ x \in V</math> така што производот <math>\ a \cdot x \in V</math>.
 
 
Познато е дека секоја точка од рамнината и просторот може да се претстави како [[Подреден пар|подредена двојка (пар)]] и подредена тројка од реални броеви соодветно. Членовите на парот, односно тројката се нарекуваат ''координати на точката''. Ако секоја точка од рамнината / просторот ја претставиме преку нејзиниот [[радиусвектор]] (кој пак ги има истите координати како и точката), и дефинираме собирање на два радиусвектора <math>\ u = ( a , b ), v = ( c , d )</math> со: <math>\ u + v = ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + b , c + d)</math> и множење со скалар со <math>\ k\cdot u = k\cdot ( a , b ) = ( k\cdot a , k\cdot b ), k \in \Bbb{F}</math>, тогаш лесно се проверува дека во однос на вака дефинираните операции множествaта од подредени двојки / тројки (односно некоја рамнина од 3D-просторот и самиот 3D-простор) се реални векторски простори. Ако пак се апстрахираме од визуелното геометриско значење на координатите на точките и воведеме: '''подредени четворки:''' <math>\ (a_1, a_2, a_3, a_4)</math>, '''подредени петорки:''' <math>\ (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)</math>, или пак за произволен природен број '''n''' воведеме '''подредена n-торка:''' <math>\ (a_1, a_2,..., a_n)</math>, а операциите ги дефинираме на потполно ист начин (збир на два вектора [две n-торки] е вектор чии координати претставуваат збир од соодветните координати на векторите [n-торките]; а производ на вектор [n-торка] со скалар е вектор [n-торка] чии координати се координатите на векторот [n-торката] помножени со скаларот), тогаш се проверува дека множеството од n-торки ги задоволува погорните аксиоми, т.е. дека тоа е векторски простор.
 
Напомена: векторскиот простор е '''затворено множествозатворен''' во однос на во него дефинираните операции, т.е. ако едно множество е векторски простор тогаш преку операциите не може да се „излезе од неговите граници“, т.е. не постојат вектори кои припаѓаат во просторот, а чиј збир не припаѓа во просторот, ниту таков вектор од просторот и таков скалар од полето чијшто производ не припаѓа во просторот.
 
=База и димензија на векторски простор=
 
=Векторски потпростори=
Слично како што во однос на ''множеството'' се разгледува ''подмножество'', така во однос на ''векторскиот простор'' се разгледува ''векторски потпростор''. Бидејќи самиот векторски простор е множесвто, логички се наметнува заклучокот дека потпросторот е негово подмножество; но не било какво подмножество. Имено потпросторот мора да е '''сам за себе простор''', односно за сите елементи од подмножеството да важат аксиомите за векторски простор. Само тогаш може да се каже дека едно подмножество е векторски потпростор. И потпросторите од еден векторски простор не се еднозначно определени. Од друга страна, бидејќи потпросторот ги „наследува“ операциите од просторот, доволно е да покажеме дека, за секои <math>\ x</math>, <math>y \in W</math> и секои <math>a</math>, <math>b \in F</math> векторот: <math>a</math>·<math>\cdot x</math> + <math>b</math>·<math>\cdot y \in W</math>, каде со <math>\ W</math> е означено подмножество(под)множество вектори од просторот <math>\ V</math> за кое испитуваме дали е векторски просторпотпростор. Релацијата „''е векторски потпростор од''“ се бележи со знакот <math>\ \le</math>. Така, ако <math>\ W</math> е потпростор од <math>\ V</math> пишуваме: <math>\ W</math> \le <math>V</math>.
 
Бидејќи и самите потпростори се векторски простори, тие имаат база и димензија. Се јавува следнава поврзаност: потпросторот е подмножество од просторот, па соодветно: базата на потпросторот е подмножество од базата на просторот. Како точно се покажува следново; нека <math>V\ dimV = n</math> е простор со димензија ''n'' и нека <math>\ W \le V</math> е негов потпростор, тогаш:
* ако ''<math>\ dimW = n''</math> тогаш <math>\ W = V</math>
* ако ''<math>\ dimW = 0''</math> тогаш <math>\ W = \{ \Bbb{O} \}</math> (<math>\ W</math> го содржи само нултиот-вектор)
 
Ако <math>\ U</math>, и <math>W</math> се\le потпростори од <math>V</math>, тогаш под збир на потпростори ќе го разбираме множеството: <math>U + W = </math>{<math> u + w </math>| <math>u \in U, w \in W </math>} кое исто така е векторски потпростор од <math>V</math>. За димензијата на збирот на потпросторите важи:
 
: ''dim(U + W) = dimU + dimW - dim(U ∩ W)''
<math>\ U + W = \{ u + w | u \in U, w \in W \}</math>
 
кое исто така е векторски потпростор од <math>V</math>. За димензијата на збирот на потпросторите важи:
: ''<math>\ dim(U + W) = dimU + dimW - dim(U \cap W)''</math>
 
[[Категорија:Математика]]
1.577

уредувања