Векторски простор: Разлика помеѓу преработките
[непроверена преработка] | [непроверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
с robot Dodaje: zh-classical:向量空間 |
Нема опис на уредувањето |
||
Ред 1:
Векторскиот простор во основа е всушност '''множество''' во чии рамки елементите задоволуваат одредени својства. Векторскиот простор е еден од основните концепти на вишата математика. Со неговото воведување возможно е теоретски да се решат голем број проблеми, а како најбитно се овозможува '''димензионална апстракција''' - да се погледне ''преку'' третата димензија (односно максималниот број на просторни димензии кои човековиот мозок може сетилно да ги разграничи), т.е. да се разгледуваат простори со повеќе од три димензии. Иако неговата дефиниција и теориска разработка лежи во [[Линеарна алгебра|линеарната алгебра]], концептот на векторски простор е многу битен и во останатите делови на [[математика]]та, а посебно во [[Аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]].
Нека е дадено непразно множество <math>\ V</math> чии елементи ќе ги нaрекуваме '''вектори''' (тука настанува основната забуна: поимот [[вектор]] веќе не мора да се сфаќа како насочена отсечка од [[рамнина]]та или просторот, туку едноставно кажано сè, буквално сè што може да припаѓа на едно множество е вектор!); нека исто така ни е дадено едно [[поле]] <math>\ \Bbb{F}</math>, т.е. множество броеви кои има [[Алгебарски структури|структура на поле]], a чии пак елементи ќе ги нарекуваме '''скалари'''. Дефинираме операции: '''собирање''' (<math>\ +</math> ) на два елемента <math>\ x
За множеството <math>\ V</math> се вели дека е векторски простор над полето <math>\ \Bbb{F}</math> ако и само ако се задоволени следниве осум '''[[Аксиома|аксиоми]]''', т.е. својства:
* '''С1 (комутативност на собирањето):''' <math>\ x + y = y + x</math>, за секои <math>x, y \in V</math>;
* '''С2 (асоцијативност на собирањето):''' <math>\ ( x + y ) + z = x + ( y + z )</math> за секои <math>x, y, z \in V</math>;
* '''С3 (постоење на
* '''С4 (постоење на инверзен елемент):''' за секој <math>\ x \in V</math>, постои <math>\ w \in V</math> така што <math>\ x + w = w + x = \Bbb{O}</math>;
* '''М1:''' <math>\ a
* '''М2:''' <math>\ ( a + b )
* '''М3:''' <math>a
* '''М4 (постоење на неутрален елемент):''' постои <math>\ e \in F</math> така што <math>e
Доколку се исполнети '''сите''' овие аксиоми, само тогаш <math>\ V</math> е векторски простор и тогаш пишуваме: <math>V
Примери за векторски простор се: права од просторот која минува низ координатниот почеток; рамнина од просторот која минува низ координатниот почеток; целиот тридимензионален простор.
Познато е дека секоја точка од рамнината и просторот може да се претстави како [[Подреден пар|подредена двојка (пар)]] и подредена тројка од реални броеви соодветно. Членовите на парот, односно тројката се нарекуваат ''координати на точката''. Ако секоја точка од рамнината / просторот ја претставиме преку нејзиниот [[радиусвектор]] (кој пак ги има истите координати како и точката), и дефинираме собирање на два радиусвектора <math>\ u = ( a , b )
Напомена: векторскиот простор е '''затворено множество''' во однос на во него дефинираните операции, т.е. ако едно множество е векторски простор тогаш преку операциите не може да се
=База и димензија на векторски простор=
Да избереме неколку вектори од векторскиот простор: <math>\ v_1, v_2,..., v_n \in V</math> и од нив да формираме множество <math>
:<math>\ x = a_1\cdot v_1 + a_2\cdot + v_2 + ... + a_n\cdot v_n</math>
Поедноставно, ако сите вектори од <math>\ V</math> може да ги претставиме преку вектортите од множеството <math>\ S</math>, тогаш за <math>\ S</math> се вели дека е генератор
Дополнително, ако множеството <math>\ S</math> е [[Линеарна зависност|линеарно независно]], тогаш се вели дека <math>\ S</math> претставува '''база''' на векторскиот простор <math>\ V</math>. Веднаш дефинираме и '''димензија''' на векторскиот простор како '''број на вектори што ја сочинуваат базата'''. Дека просторот <math>\ V</math> има димензија ''n'' бележиме со:
На пример секој вектор од обичниот, тридимензионален простор може да се претстави преку векторите: <math>\ v_1 =
Базата на просторот не е единствена, т.е. еднозначно определена. Тоа значи дека за секој простор постојат бесконечно многу бази. Теориски, било кое линеарно независно множество вектори од еден простор може да сочинува база за тој простор. Но, како и да е, димензијата на просторот секогаш е еднозначно определена - сите бази на просторот се сочинети од ист број вектори.
=Векторски потпростори=
|