Систем со променлива маса

Во механика, променлива-маса на системот е колекција од материја чија маса варира со времето. Може да биде збунувачки ако се обиде да се применува вториот Њутнов закон на движење директно до таков систем. Наместо тоа, време зависноста на масата m може да се пресметува со преуредување на вториот Њутнов закон и со оглед на импулсот кој се врши од срана на масата при влегување или напуштање на системот. Општата равенка на движење на променлива маса е запишан како:

Ракети, кои се губат значајни количини на маса како гориво за време на лет, се пример на еден систем на променлива маса

${\displaystyle }$

каде F_ext е надворешната нето сила на телото, v_rel е релативна брзина на излезот или дојдена маса со запазување на тежиштето на телото, и v е брзината на телото. Во астродинамиката, која се занимава со механика на ракети, терминот v_rel често се нарекува делотворна брзина на издуф, означена v_e.

Деривација

Постојат различни изводи за равенката за систем на променливата маса во движење, во зависност од тоа дали маса е влегува или го напушта телото (со други збророви, дали телото во движење ја зголемуба или намалува масата). За да се поедностават пресметките, сите тела се сметаат како честички. Исто така се претпоставува дека масата не е во состојба да применува надворешни сили на телото надвор од аблацијаta.

Аблација на маса

Во првиот пример, масата dm со релативната брзина на u ќе се судри со телото со маса m и брзина v. По некое време dt, во примерот 2, и двете честички се движат како едно тело со брзина v + dv.

Следната деривација е за тело што е стекнува маса (accretion). Нека тело на маса која варира со време m се движи на брзината v на почетното време t. Во меѓувреме, во овој момент, честички со маса dm се движи со брзина u. Првичниот импулс може да се запише како

${\displaystyle }$

Сега во време t + dt, телото и честичките accrete во телото на брзината v + dv. Така, новиот импулс на системот можае да биде напишан како

${\displaystyle }$

Бидејќи dmdv е производ на две мали вредности може да се игнорира, што значи за време на dт на импулс на системот се разликува за

${\displaystyle }$

Затоа, од вториот Њутнов закон

${\displaystyle }$

Истакнувајќи дека u - v е брзината на dm во однос на m, симболизиран како v_rel, конечната равенка може да се запише како

${\displaystyle }$

Маса на аблација/исфрлање

Во систем каде што масата е исфрлена од телото, деривацијата е малку поинаква. Во времето t, масата m патува со брзина v, што значи првичниот импулс на системот е

${\displaystyle }$

Бидејќи телото ќе губи маса, dm ќе биде негативен, што значи дека во време t + dt импулсот на системот изнесува

${\displaystyle }$

каде што u е брзината на исфрлена маса. На тој начин во текот dт импулсoт на системот се разликува за

${\displaystyle }$

Ова е истото dp кое се наоѓа во истиот случај како на масата прикажан погоре што значи дека важи истиот заклучок.

Форми

Кога ќе се пушти, оваа ракета балон губи значителен количина од неговата маса, како воздух, предизвикувајќи големо забрзување.

Од дефиницијата на забрзување, a = dv/dt, равенката на променлива-маса на системот за движење може да се запише како

${\displaystyle }$

Во тела кои не се третирани како честичките, а мора да се замени со a_см, забрзувањето на тежиштето на системот, што значи

${\displaystyle }$

Често силата поради ударот е дефинирана како ${\displaystyle }$ така што

${\displaystyle }$

Оваа форма покажува дека тело може да има забрзување поради удар дури и ако нема надворешни сили кои делуваат на него (F_ext = 0). Имајте на ум, дека ако е можно F_нето  да биде збирот на F_ext и С_удар тогаш равенката повторно постанува вообичаената форма на вториот Њутнов закон:

${\displaystyle }$

Равенка за идеална ракета

Ракетната маса на ликвидност, наспроти крајната брзина се пресметува од равенката за ракета.

Равенката за идеалната ракета, или ракетна равенка на Tsiolkovsky, може да се користи за проучување на движење на возилата кои се однесуваат како ракета (каде тело забрзува себеси со изфрлање на дел од неговата маса, со голема брзина). Тоа може да се изведе од општа равенка на движење за системот на променлиба маса, како што следува: кога нема надворешни сили дакои дејствуваат на телото (F_ext = 0) равенката на системот на променлива маса за движење  се намалува за

${\displaystyle }$

Ако брзината на исфрлениот пропелант, v_rel, се претпоставува дека има спротивна насока од ракетното забрзување, dv/dt, scalar-овиот еквивалент на оваа равенка може да се запише како

${\displaystyle }$

од која dt може да биде скратено и да се запише како

${\displaystyle }$

Интеграција со раздвојување на променливите дава

${\displaystyle }$

Со преуредување и вметнување на Δv = v₁ - v₀, се доаѓа до стандардна форма на равенката на идеална ракета:

${\displaystyle }$

каде m₀ е првичната вкупна маса, вклучувајќи го пропелантот, м₁ е крајната вкупна маса, v_rel е делотворната брзина на издувните гасови (често познат како v_e), и Δv е максималната промена на брзината на возилото (кога нема надворешни сили кои дејствуваат на телото).