Нормален распоред

Нормален распоред или Гаусов распоредверојатносен распоред на случајна големина со препознатлива форма во облик на звоно. Нормалниот распоред го открил германскиот математичар Карл Ф. Гаус, а називот нормален распоред го дал Галтон. Во Европа, тој е познат како Гаусов распоред, додека во англосаксонските земји е познат како нормален распоред.[1]

Опис на нормалниот распоредУреди

 
Вкупната област под кривата изнесува 1. X е нормална случајна променлива со кумулативна функција на распоред F (X), а a и b се две можни вредности на X, при што а < b.

Нормалниот распоред блиску го апроксимира распоредот на веројатност со широк интервал на случајни променливи. Има бројни примери за нормален распоред: вкупните продажби на производство, моделите на цените на акциите и слично. Нормалната случајна променлива X претставува непрекината променлива која зема бесконечен број на можни вредности од -∞ до +∞, со функција која го претставува распоредот на веројатноста во дадениот интервал. Распоредот на средините на примероците се приближуваат кон нормален распоред, ако се работи за големина на примерок.

Функција на густина на веројатност на нормален распоредУреди

Нормалниот распоред на веројатноста претставува големо множество на распореди, секој со единствена спецификација за параметрите µ и σ.2 [2]

 

Својства на нормален распоредУреди

Средина на случајната променлива е µ

 

• Варијансата на случајната променлива е σ2

 

• Доколку ја знаеме средината и варијансата, можеме да го дефинираме нормалниот распоред со користење на ознаката

 

Коефициентот на асиметрија α3=0, а коефициентот на сплоснатост α4=3 • Функцијата на густина на веројатноста е унимодална (М=Ме=Мо) Нормалниот распоред е симетричен. Различните централни тенденции се прикажуваат со разликите во µ. Разликите во σ2 резултираат со функции на густина со различни ширини. Средината на распоредот дава мерка на централна локација, а варијансата дава мерка на дисперзијата околу средината.[3] Важна карактеристика на нормалниот распоред е тоа што е целосно определен од неговите први два моменти: средната вредност и варијансата.[4]

Кумулативна функција на нормален распоредУреди
 

Тоа е областа под нормалната функција на густината на веројатноста на лево од x. Вкупната област под кривата изнесува 1. X е нормална случајна променлива со кумулативна функција на распоред F (X), а a и b се две можни вредности на X, при што а < b.

 

Стандарден нормален распоредУреди

 
Стандарден нормален распоред

За да може да се врши споредба на распоредите, потребно е нормалниот распоред да има единечен облик, односно облик кој не зависи од параметрите µ и σ2. Нормалниот распоред кој се одликува со средна вредност еднаква на нула и варијанса еднаква на еден (µ=0, σ2 =1) се нарекува стандарден нормален распоред. Стандардниот нормален распоред е совршено симетричен, а неговата средна вредност е еднаква на модата и на медијаната (чија веројатност за случување изнесува 50%). Притоа, 95% од нормалниот распоред ги опфаќа вредностите од две стандардни девијации над и под средната вредност, 66% од вредностите се наоѓаат во интервалот од една стандардна девијација под и над средната вредност, а 99% од вредностите се наоѓаат во интервалот од три стандардни девијации над и под средната вредност.[5]

Z ~  

Можеме да ја добиеме веројатноста за која било нормално распоредена случајна променлива со тоа што ќе ја претвориме во случајна променлива со стандарден нормален распоред Z. Секогаш постои директна зависност меѓу било која нормално распоредена променлива и Z, а тоа се постигнува со трансформацијата:

 

Параметри на стандардниот нормален распоред:Уреди

Стандардниот нормален распоред се одликува со следниве параметри:[6] • Аритметичката средина µ = 0 • Варијанса σ2 = 1 • Коефициент на асиметрија α3=0, што значи дека распоредот е унимодален и идеално симетричен. • Коефициентот на сплоснатост α4=3, што значи дека распоредот има нормална висина.

Кумулативна функција на стандарден нормален распоред :Уреди

 

Вредностите на кумулативната функција на распоред за негативни вредности на Z можат да се утврдат со користење на симетрија на функцијата на густината на веројатноста.

 

НаводиУреди

  1. Philippe Jorion (1997): Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. New York et al.: McGraw-Hill, стр. 72-73.
  2. Philippe Jorion (1997): Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. New York et al.: McGraw-Hill, стр. 73.
  3. Paul Newbold, William Carlson, Betty Tharne (2007): Statistics for business and economics, 6th edition, Pearson.
  4. Philippe Jorion (1997): Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. New York et al.: McGraw-Hill, стр. 73.
  5. Philippe Jorion (1997): Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. New York et al.: McGraw-Hill, стр. 73-75.
  6. Ристески Славе, Тевдовски, Драган (2010): Статистика за бизнис и економија, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје.