Котангенсна теорема
Котангенсна теорема[1] – во тригонометријата оваа теорема е однос помеѓу должината на секоја од страните на даден триаголник и котангенсот од половинката од аглот наспроти страната.
Слично како што во синусната теорема размерот на секоја страна и синусот на аголот наспроти неа е еднаков на пречникот на опишаната кружница околу триаголникот (или нивните реципрочни вредности, во зависност од тоа како теоремата е изразена), котангенсната теорема е врска помеѓу полупречникот на впишаната кружница во триаголникот и неговите страни и агли.
Тврдење уреди
Ако ги користиме вообичаените ознаки за триаголник при што (види ја сликата горе десно): се должините на трите страни на триаголникот, се темињата спротивни на соодветните страни, се соодветните агли при овие темиња, е полуобемот на триаголникот и е полупречник на впишаната кружница, тогаш котангенсната теорема гласи
Полупречникот на впишаната кружница е даден со
Доказ уреди
На горната слика, допирните точки на впишаната кружница со страните на триаголникот го делат периметарот на триаголникот на 6 отсечки. Овие отсечки може да се поделат во 3 пара при што отсечките во секој пар имаат еднакви должини. На пример, двете отсечки на кои крајна точка им е темето A се еднакви. Ако се земе по една отсечка од секоја пар, нивниот збир е еднаков на полуобемот s. Пример за ова се отсечките во боја прикажани на сликата. Двете отсечки кои ја чинат црвената линија имаат збир , па сината отсечка мора да има должина . Очигледно, другите пет отсечки мора да имаат должини , или (како што е прикажано на долната слика десно). Од цртежот, користејќи ја дефиницијата за котангенс на агол, се добива
Аналогно се добиваат равенствата и за другите два агла, со што е докажано првото тврдење.
За второто, т.е. за формулата за полупречникот на впишана кружница, се почнува со формулата за котангенс на збир од три агла:
Применувајќи ја оваа формула на , се добива дека:
од каде
(ова е важен идентитет за звирот на три котангенси на аглите во триаголник). Со замена на вредностите добиени во првиот дел, се добива:
Множејќи го равенството со се добива . Aко на двете страни се побара квадратен корен, следува второто равенство.
Некои докази со користење на котангенсната теорема уреди
Бројни други резултати може да се изведат од котангенсната теорема.
- Херонова формула. Може да се забележи дека со симетралите на аглите на триаголник ABC, неговата плоштина е поделена на три пара од 6 помали триаголника, при што триаголниците од ист пар имаат еднакви плоштини. На пример, двата триаголника кај темето A, како правоаголни со страна и висина кон неа r, имаат плоштини еднакви на . Така, овие два триаголника имаат вкупна површина од , а плоштината на целиот триаголник е
- Oттука се добива Хероновата формула за плоштина на триаголник изразена преку неговите страни
- како што се бараше.
- Молвајдеoва прва формула. Од формулата за синус од збир и разлика и котангенсната теорема се добива
- Ова го дава резултатот
- познат како прва Мовајдеова формула.
- Молвајдеoва втора формула. Од формулата за собирање и котангенсната теорема се добива
- Тука се бара еден дополнителен чекор за да се преобрази производот во збир, согласно формулата за збир/производ на котангенси.
- Ова го дава резултатот
- познат како втора Мовајдеова формула
- Од котангенсната теорема може да се изведе тангенсната теорема (Silvester 2001, стр. 99 ).
Поврзано уреди
Наводи уреди
- ↑ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
- Silvester, John R. (2001). Geometry: Ancient and Modern. Oxford University Press. стр. 313. ISBN 9780198508250.