Еластичен судир

Еластичен судир е средбата помеѓу две тела во кои вкупната кинетичка енергија на двете тела по средбата е еднаква на нивната вкупна кинетичка енергија пред средбата. Еластичен судир ќе се случи само ако не постои нето претворање на кинетичката енергија во други форми (на пример, топлина или бучава).

Сè додека црно-тело зрачењето (не се прикажува) не избега од системот, атомите во топлинската агитација се изложени на суштински еластични судири. Просечно, два атома се враќаат од едни на други со истата кинетичка енергија како пред судир. Пет атоми се обоени црвено, така што е полесно да се видат нивните патеки на движење.

За време на судирот на мали објекти, кинетичката енергија прво се претвора во потенцијална енергија поврзана со одбојна сила помеѓу честичките (кога честичките се движат против оваа силе, односно аголот помеѓу силата и релативната брзина е тап), тогаш оваа потенцијална енергија се претвора назад во кинетичка енергија (кога честичките се движат со оваа сила, односно аголот помеѓу силата и релативната брзина е акутен).

Судирот на атоми се еластични судири (Rutherford backscattering е еден пример).

Молекули—за разлика од атоми—на гас или течност ретко доживуваат совршен еластичен судир бидејќи кинетичката енергија се разменува помеѓу преносувачко движење на молекули и нивните внатрешни degrees of freedom со секој судир. Во било кој момент, половина од судирите се, до одреден степен, нееластични судири (парот поседува помалку кинетичка енергија во нивното преведувачко движење по судирот отколку пред него), а другата половина може да се опише како "супер-еластична" (кои поседуваат повеќе кинетичка енергија по судирот отколку пред него). Просечни низ целиот примерок, молекуларните судири може да се сметаат како суштински еластични сè додека Законот на Планк забранува црно-тело фотони да носат енергија надвор од системот.

Во случај на макроскопските тела, совршенo еластичните судири се идеални никогаш целосно реализирани, но се поистоветуваат со интеракцијата на објекти како што се билијард топки.

Кога се разгледуваат енергии, можна вртежна енергија пред или по судирот исто така може да игра улога.

Равенки

Едно-димензионален Њутн

Професорот Walter Lewin објсаснува едно-димензионални еластични судири

Нека се разгледаат две честички, означени со индексите 1 и 2. Нека m₁ и m₂ бидат масите, u₁ и u₂ брзините пред судирот, и v₁ и v₂ брзините по судирот.

Зачувувањето на вкупниот импулс бара вкупниот импулс пред судирот да биде ист со вкупниот импулс по судирот, и се изразува со равенката

$\,\!m_{1}{\vec {u}}_{1}+m_{2}{\vec {u}}_{2}=m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}.$

Исто така, зачувувањето на вкупната кинетичка енергија се изразува со равенката

${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Овие равенки можат да се решат директно за да се најде v_i кога u_i се познати или обратно. Алтернативно решение е прво да се промени рамката за рефернци така што еден од познатите брзини е нула.Непознатите брзини во новата рамка за наводи можат потоа да се утврдат и да бидат проследени со претворање назад во оригиналната рамка на наводи за да се дојде до истиот резлутат. Откако ќе се утврди една од непознатите брзини другите можат да се најдат од страна на симетрија.

Решавајќи ги овие равенки истовремено за v_i добиваме:

$v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

или

$\ v_{1}=u_{1}$

$\ v_{2}=u_{2}$.

На крајот е тривијално решение, што одговара на случајот дека нема да се случи судирот (сè уште).

На пример:

Топка 1: маса = 3 кг, брзина = 4 m/s

Топка 2: маса = 5 кг, брзина = −6 m/s

По судирот:

Топка 1: брзина = −8.5 m/s

Топла 2: брзина = 1.5 m/s

Сопственост:

$\ v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}$

Изведување:

Со користење на кинетичка енергија може да се напише

$\ m_{1}\left(v_{1}^{2}-u_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(u_{2}^{2}-v_{2}^{2}\right)$

$\Rightarrow m_{1}\left(v_{1}-u_{1}\right)\left(v_{1}+u_{1}\right)=m_{2}\left(u_{2}-v_{2}\right)\left(u_{2}+v_{2}\right)$

Равенка за преуредување на интензитет:

$\ m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})$

Поделба на равенката за кинетичка енергија со равеката на импулсот добиваме:

$\ v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}$

$\Rightarrow v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}$

• релативната брзина на една честичка во однос на другите се обртува од судирот
• просекот на импулсот пред и по судирот е ист за двете честички

Еластичен удар со еднакви маси

Како што може да се очекува, решението е непромеливо по додавање на константа на сите брзини, и е исто како користење на рамка за референца со постојана преведувачка брзина.

Еластичен судир на маси во систем со движечка рамка за референца

Брзината на центар на маса не се менува од судирот:

Центарот на маса во времето $\ t$ пред судирот и во времето $\ t'$ по судирот е даден со овие две равенки:

${\bar {x}}(t)={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}$, и

${\bar {x}}(t')={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}$

Оттука, брзините на центарот на масата пред и по судирот се:

$\ v_{\bar {x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, and

$\ v_{\bar {x}}'={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Броителот на $\ v_{\bar {x}}$ е вкупниот импулс пред судирот, и броителот на $\ v_{\bar {x}}'$ е вкупниот импулс по судирот. Сè додека импулсот е конзервиран, имаме $\ v_{\bar {x}}=\ v_{\bar {x}}'$.

Во однос на центарот на масата двете брзини се обртуваат од судирот: во случај на честички со различна маса, потежката честичка се движи поспоро кон центарот на масата и се одбива назад со истата мала брзина, и светлосна честичка се движи брзо кон центарот на маса, и се одбива назад со истата висока брзина.

Од равенките за $\ v_{1}$ и $\ v_{2}$ горе можеме да видиме дека во случај на голем $\ u_{1}$, вредноста на $\ v_{1}$е мала ако масите се од прилика исти: удирајќи полесна честичка не ја менува многу брзината, удирајќи многу потешка честичка предизвикува брзата честичка да се одбие назад со висока брзина.

Еластичен судир со нееднакви маси.

Заради ова неутронски модератор (медиум кој успорува брзи неутрони, со тоа што ги претвора во термални неутрони способни за издржување верижна реакција) е материјал полн со атоми со лесни јадра(со дополнителната сопственост така што тие не апсорбираат неутрони толку лесно): најлесните јадра имаат приближно иста маса како неутрони.

Едно-димензионален релативитет

Според специјален релативитет,

$p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Каде p обележува импулсот на било која честичка со маса, v обележува брзина, и c е брзината на светлината.

Во централно импулсниот систем каде вкупниот импулс еднаков на нула,

$p_{1}=-p_{2}$

$p_{1}^{2}=p_{2}^{2}$

${\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E$

$p_{1}=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{cE}}$

$u_{1}=-v_{1}$

Каде $m_{1}$ претставува остаток маса од првото судирачко тело, $m_{2}$ претставува остаток маса од второто судирачко тело, $u_{1}$ претставува почетната брзина на првото судирачко тело, $u_{2}$ претставува почетната брзина на второто судирачко тело, $v_{1}$ претставува брзината по судирот на првото судирачко тело, $v_{2}$ претставува брзината по судирот на второто судирачко тело, $p_{1}$ означува импулсот на првото судирачко тело, $p_{2}$ означува импулсот на второто судирачко тело и $c$ означува брзината на светлината во вакуум, $E$ означува вкупната енергија на системот (односно сумата на остатокот маси и кинетички енергии од судирачките тела).

Од вкупната потрошувачка енергија и динамика на системот се конзервирани и остатокот од масите на судирачките тела не се менува, покажано е дека импулсот на судирачките тела е одлучен од остатокот маси на судирачките тела, вкупната енергија и вкупниот импулс. Големината на импулсот на судирачките тела не се менува по судирот но правецот на движење е спротивен во однос на централно импулсниот систем.

Класичната механика е само добра апроксимација. Тоа ќе даде точни резултати кога се управува со објектот кој е макроскопски и оди со многу помала брзина од брзината на светлината. Надвор од класичните граници, тој ќе даде погрешен резлутат. Вкупниот импулс на две судирни тела е зависи од појдовните системи. Во централно импулсниот систем, според класичната механика,

$m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={0}\,\!$

$m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\,\!$

${\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\,\!$

$(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\,\!$

$u_{2}=-v_{2}\,\!$

${\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\,\!$

$(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\,\!$

$u_{1}=-v_{1}\,\!$

Покажано е дека $u_{1}=-v_{1}$ останува вистина во релативистичката пресметка покрај други разлики. Една од поставките во Специјален Релативитет наведува дека Законите за Физика треба да бидат непроменливи во сите инертни рамки за референца. Тоа е, ако вкупниот импулс е зачуван во одредена инертна рамка за референца, вкупниот импулс исто така ќе биде зачуван во било која инертна рамка за референца, иако износот на вкупниот импулс е зависен од рамката. Затоа, преку трансформирање од инертна рамка за референца во друга, ќе бидеме во можност да ги добиеме саканите резлутати. Во одредена рамка за референца каде вкупниот импулс може да биде секој,

${\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}$

${\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E$

Можеме да погледнеме кон двете движечки тела како еден систем од кој вкупниот импулс е $p_{T}$, вкупната енергија е $E$ и неговата брзина $v_{c}$ е брзината на неговиот центар на маса. Во однос на рамката за центарот на импулс е еднаква на нула. Може да биде покажано дека $v_{c}$ е дадена со :

$v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}$

Сега брзините пред судирот во рамката за центарот на импулс $u_{1}'$ и $u_{2}'$ се:

$u_{1}'={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}$

$u_{2}'={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}$

$v_{1}'=-u_{1}'$

$v_{2}'=-u_{2}'$

$v_{1}={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}$

$v_{2}={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}$

Кога $u_{1}\ll c$ и $u_{2}\ll c$,

$p_{T}$ ≈ $m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

$v_{c}$ ≈ ${\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$u_{1}'$ ≈ $u_{1}-v_{c}$ ≈ ${\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$

$u_{2}'$ ≈ ${\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}$

$v_{1}'$ ≈ ${\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}$

$v_{2}'$ ≈ ${\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$

$v_{1}$ ≈ $v_{1}'+v_{c}$ ≈ ${\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$v_{2}$ ≈ ${\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

Затоа класичната пресметка важи и кога брзината на двете судирачки тела е многу пониска од брзината на светлината (околу 300 million m/s).