Пи

Оваа статија е за бројот. За грчката буква видете пи (грчка буква). За други употреби видете пи (појаснување).

Пи (сим. $π$ ), Лудолфов број или Архимедова константа — ирационален реален број, кој го претставува односот на обиколката на една кружница со нејзиниот пречникот во Евклидовата геометрија. Бројот $π$ има широка употреба во математиката, физиката и инженерството, но се употребува и во други науки. Бројот $π$ исто така е познат и како Архимедова константа (што не е исто со Архимедов број) и како Лудолфов број (по германскиот математичар Лудолф ван Цојлен кој го пресметувал на многу децимали). Постојат различни начини за изразување на Архимедовата константа како дропка, еден од кои е дропката ²²⁄₇. Постојат брзи методи за добивање на бројот $π$ со произволна точност. Неговата приближна вредност на 5 децимали изнесува 3,14159.

Кога пречникот на кругот е 1, неговата обиколка е $π$ .

Буквата $π$

Името на грчката буква $π$ е пи и овој запис се користи во типографски содржини каде што грчката буква не е достапна или каде што нејзината употреба би била проблематична. Константата се нарекува « $π$ » бидејќи е првата буква од грчките зборови περιφέρεια (периферија) и περίμετρος (обиколка).

$π$ е претставен со уникодниот знак U+03C0 („грчката мала буква пи“).

Дефиниција

Плоштина на кругот =

π

× плоштина на засенетиот квадрат

Во Евклидовата рамнинска геометрија, $π$ се дефинира како однос на обиколката на еден круг со неговиот пречник^[1], или како односот помеѓу плоштината на кругот со плоштината на квадрат чијашто страна е полупречник: $\pi ={\frac {O}{d}}={\frac {2r\pi }{2r}}=\pi$
Константата $π$ може да се дефинира на други начини кои го избегнуваат концептот на должина на лакот и плоштина, на пример како двапати по најмалиот позитивен x за кого sin(x) = 0.^[2] Формулите подолу ги илустрираат другите (еквивалентни) дефиниции.

Бројчена вредност

Бројчената вредност на $π$ , скратена на 50 децимални места е:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Нема потреба за пресметување на $π$ до милиони или милијарди цифри во практичната научна или инженерска работа. Вредност на $π$ до 40 цифри би била повеќе од доволна да се пресмета обиколката на еден круг голем колку Млечниот Пат со грешка помала од големината на еден протон. Постојат неколку научни пресметки кои бараат извршување на посредни пресметки за значајно поголема прецизност на крајните резултати, но не е веројатно дека некому некогаш би му притребале повеќе од неколку стотици цифри од $π$ за таква намера.

Сепак, точната вредност на $π$ има бесконечен децимален дел: неговиот децимален дел не завршува никогаш и не се повторува, со оглед на тоа што $π$ е ирационален број (и впрочем, трансцендентен број). Оваа бесконечна низа на цифри ги фасцинирала математичарите и лаиците, па така многу труд бил вложен во последните неколку векови со цел да се пресметаат повеќе цифри и да се истражат особините на бројот. И покрај сета аналитичка работа и суперкомпјутерски пресметки кои откриле над 1 билион цифри на $π$ , никогаш не била пронајдена проста шема во цифрите. Цифрите на $π$ се достапни на многу мрежни места, и постои софтвер за пресметување на $π$ ^[3] до милијардити цифри на кој било личен сметач. Видете [[историја на бројчените приближувања на $π$ ]].

Историја

Историски, за бројот $π$ се знае од кога се знае и за самата математика.^[4] Некои автори, напредокот во тоа поле го делат на 3 периоди: антички, во кој бројот се пресметувал геометриски; класичен, во кој за неговата пресметка се користела напредната математика во Европа; и третиот дигитален период се однесува на компјутерското пресметување на бројот $π$ .^[5]

Геометриски период

Тврдењето дека односот на лакот повлечен над права линија е околу 3 пати подолг од правата линија било познато уште во античко време. Тоа тврдење го знаеле староегипетските, вавилонските, индиските и старогрчките математичари. Најраните апроксимативни вредности на бројот $π$ , датираат од околу 1900 п.н.е. и изнесуваат 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет). И двете се со околу 1% отстапување од вистинската вредност.^[6] Во индискиот текст „Шатапатха Брамана“, вредноста на $π$ е изразена како 339/108 ≈ 3,139. Во „Книга на кралевите“, во Танахот пишува дека $π$ = 3. Таа вредност е воочливо понепрецизна од вредностите кои во тоа време биле познати (600 години п.н.е.).^[7]^[8]

Архимед (287-212 п.н.е.) бил првиот којшто точно ја пресметал вредноста на бројот $π$ . Тој сфатил дека до точната вредност на плоштината на кругот може да се дојде со цртање на многуаголници во кругот, а од тоа и да се дојде до поточна вредност на $π$ .

За да се стигне до поточна вредност потребно е да се нацрта многуаголник со што е можно поголем број на страни. Архимед нацртал 96-аголник и докажал дека 223/71 < $π$ < 22/7.^[8]

Во следните векови, најголем напредок на тоа поле е постигнат во Индија и Кина. Околу 265 година, математичарот Лиу Хуи од кралството Веи, открил едноставен алгоритам за пресметување на вредноста на бројот $π$ , до која било децимала. Тој тоа го пресметал на многуаголник со 3072 страни и го добил резултатот $π$ =3,1416.

{\begin{aligned}\pi \approxeq A_{3072}&{}\approxeq 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&{}\approxeq 3,14159.\end{aligned}}

Лиу Хуиевиот

π

алгоритам

Подоцна Лиу Хуи измислил [[Лиу Хуиев $π$ алгоритам|алгоритам]], со кој се добивала вредноста $π$ =3,1416, користејќи многуаголник од 96 страни, тврдејќи дека разликата на плоштината на последователните многуаголници дава геометриска прогресија со количник 4.

Околу 480 година, кинескиот математичар Цу Џунгџи ја дал приближната вредност $π$ = 355/113, покажувајќи дека 3,1415926 < $π$ < 3,1415927. Тоа го добил со помош на [[Лиу Хуиев $π$ алгоритам|Лиу Хуиевиот $π$ алгоритам]] за многуаголник со 12.288 страни. Тоа се покажало како најточно пресметан број во наредните 900 години.

Класичен период

До вториот милениум, бројот $π$ бил со точност помала од 10 децимални места. Следниот голем напредок бил појавата на напредната математика и бесконечните низи. Тие низи теоретски даваат можност теоретски да се пресмета вредноста на $π$ до која било децимала. Околу 1400 година, индискиот математичар Мадава од Сангамаграма ја открил првата позната низа од тој вид:

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \!

Не толку позната како Грегори-Лајбницова формула:

\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)\!

Мадхава успеал бројот да го пресмета со 11 децимали:

$π$ = 3,14159265359

Рекордот е срушен во 1424 година од страна на персискиот астроном Јамшид ал Каши, кој бројот го пресметал со 16 децимали.

Првиот голем напредок во пресметувањето на бројот од времето на Архимед го направил германскиот математичар Лудолф ван Цојлен (1540-1610), кој со геометриски метод успеал да го пресмета бројот $π$ со точност од 35 децимали. Тој бил толку среќен и горд со овој успех, така што добиената вредност била врежана на неговиот надгробен споменик.^[9]

Во истиот временски период, методите на напредната математика и одредувањето на бесконечните низи почнало да се развива во Европа. Прва позната формула била Виетовата формула,

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots \!

која ја открил Франсоа Виет во 1593. Друг познат резултат е Валисовиот производ,

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \!

запишан од страна на Џон Валис во 1655. Исак Њутн измислил низа за пресметување на $π$ со која можела да се пресметаат 15 децимали, иако подоцна самиот Њутн рекол: „Срам ми е да ви кажам колку фигури нацртав за оваа пресметка, немајќи некоја друга работа.“^[10]

Во 1706, Џон Мачин прв го пресметал бројот $π$ со повеќе од 100 децимали, користејќи ја формулата

{\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!

при што ја користел формулата

\arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!

Формулите од овој вид се познати како редни формули и биле употребувани, најчесто за подобрување на рекордот во точноста на пресметката на вредноста на бројот $π$ , на што е можно поголем број на децимали.

Пресметката во дигиталниот период

Појавата на компјутерската технологија во 20 век довела до нов рекорд во пресметката на точноста на бројот $π$ . Со помош на ENIAC, Џон фон Нојман пресметал број со 2037 цифри во 1949 година. За таа пресметка му биле потребни 70 часа. Со секоја наредна декада, бројот на децимални места при пресметките се зголемувал за неколку илјади, а во 1973 година, се дошло и до милионитата децимала.

Напредокот не бил само резултат на брзиот напредок во дигиталната технологија, туку и резултат на појавата на нови алгоритми. Голем напредок било откривањето на брзата Фуриеова трансформација во 1960 година, која овозможува аритметичко пресметување на екстремно големи броеви со многу голема брзина.

На почетокот на 20 век, индискиот математичар Сринивас Раманујан (1887—1920) открил многу нови формули за пресметување на вредноста на бројот $π$ .^[11] Двете негови најпознати формули се:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!

и

{\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}\!

кои даваат резултат со 14 децимали по пресметката.^[11] Браќата Чудновски работеле на оваа формула за неколку рекордни пресметки на крајот од 1980-тите, вклучувајќи ја и првата пресметка со над милијарда децимали (точно 1.011.196.691 децимали) во 1989 година. Ова формула останува и во пресметките на компјутерските програми, кои се користат за поставување на нови рекорди при пресметката на бројот $π$ .

Формули

Геометрија

Пи се појавува во геометриските формули кои се однесуваат на геометриските слики и тела, кои содржат облик на круг или елипса. Во нив спаѓаат цилиндарот, конусот и топката.

Геометриски облик	Формула
Обиколка на круг со полупречник r односно пречник d	$O=\pi d=2\pi r\,\!$
Плоштина на круг со полупречник r	$P=\pi r^{2}\,\!$
Плоштина на елипса со полуоски a и b	$P=\pi ab\,\!$
Волумен на топка со полупречник r	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!$
Плоштина на топка со полупречник r	$P=4\pi r^{2}\,\!$
Волумен ан цилиндар со висина H и полупречник r	$V=\pi r^{2}H\,\!$
Плоштина на цилиндар со висина H и полупречник r	$P=2(\pi r^{2})+(2\pi r)H=2\pi r(r+H)\,\!$
Волумен на конус со висина H и полупречник r	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}H\,\!$
Плоштина на конус со висина H и полупречник r	$P=\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+H^{2}}})\,\!$

Тригонометријата

Во тригонометријата, аголот од 180 степени изнесува $π$ радијани.

Анализа

Во математичката анализа, бројот пи се изразува и користи на различни начини. Од обликот на бесконечни редови и производи до интеграли и специјални функции.

Франсоа Виет, 1593:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots

Лајбницова формула:

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Овој бесконечен ред, често се запишува во следниот облик:

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{4}}

Валисов производ:

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Интеграл на веројатноста, познат од математичката анализа:

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}

Базелски проблем, кој прв го решил Ојлер (видете исто така: Риманова зета-функција):

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

и воопшто

\zeta (2n)

е рационален производ

\pi ^{2n}

за секој природен број -{n}-.

Вредност на Гама-функцијата во точката 1/2:

\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}

Стирлингова апроксимативна формула:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Ојлеров идентитет (којшто Ричард Филип Фајнман го нарекол „совршена математичка формула“):

e^{i\pi }+1=0\;

Својства на Ојлеровата φ-функција:

\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}

Плоштина на една четвртина од кругот:

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi  \over 4}

Комплексна анализа

Специјален случај на Ојлеровата формула за $e^{ix}\,$ :

e^{i\pi }\,\!+1=0

Основен случај на теоремата за остатоци:

\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i

Верижно разложување

$π$ може да биде претставен како верижно разложување, како на пример:

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+..}}}}}}}}}}}}

Теорија на броеви

Од теоријата на броеви се знае дека веројатноста два случајно избрани броеви да бидат заемно прости е 6/ $π$ ², а истата веројатност е и при случајно избирање на еден број, тој да нема квадратен корен, кој е цел број. Во просек, бројот на даден природен број да се изрази како збир на два совршени квадрати е во просек $π$ /4.

Динамични системи

Во теоријата на динамични системи (видете исто така: Ергодичка теорија), за скоро секој реален број -{x₀}- во интервалот [0, 1],

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}\,,

каде -{x_i} - интегрирани вредности на логистичкото пресликување -{r = 4}-.

Физика

Во физиката, бројот $π$ се јавува во некои формули. На пример, бројот $π$ е содржан во упростениот израз на формулата на Планковата константа $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ . Всушност упростената формула е основна, а присуството на факторот 1/2 $π$ во формулата со h може да се смета за условен од вообичаената дефиниција за Планковата константа:

Хајзенбергов принцип на неодреденост:

\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}

Ајнштајново изедначување на полиња во општата теорија за релативноста:

R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}

Кулонов закон за електрична сила:

F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}

Магнетна пермеабилност на слободниот простор:

\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm {H/m} \,

Веројатност и статистика

Во веројатност и статистиката постојат голем број на распределби чии изрази го содржат бројот $π$ . Меѓу нив спаѓаат и густината на распределба на веројатноста за нормална распределба со очекувана веројатност μ и стандардно отстапување σ:

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}

Густина на распределба на веројатноста (Кошиева распределба):

f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}

Треба да се забележи дека, како $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ за секоја функција на густината на распределба на веројатноста -{f(x)}-, со помош на горната формула може да се изведат други формули изразени преку $π$ .

Интересна емпириска приближна вредност на бројот $π$ се заснова на проблемот на Буфонова игла. Го разгледуваме експериментот, во кој игла со должина -{L}- се фрла на рамнина, на која се означени две паралелни прави со меѓусебно растојание -{S}- (каде што -{S}->-{L}-). Ако иглата, случајно се фрли голем број на пати, -{(n)}- од кои -{x}-, така што да пресекува една од правите, тогаш приближната вредност на бројот $π$ може да ја добиеме со формулата:

\pi \approx {\frac {2nL}{xS}}

Отворени прашања

Отвореното прашање за овој број е дали $π$ е нормален број, дали постои децимала која би дала можност статистички да се предвидат останатите негови децимали. Ова мора да биде точно не само во декадниот систем. Моментно познавањата во оваа насока не се големи, па така не се знае ни кои цифри се јавуваат бесконечно, а кои не.

Во 2000 година, Бејли и Крендал покажаа дека со формулата Бејли-Борвајн-Плуфе и слични на неа формули може да се докаже нормалноста на бројот $π$ и на други константи, во основа 2 може да се сведе на разумна претпоставка во теоријата на хаос.

Исто така не е познато дали броевите $π$ и е се алгебарски независни, односно дали постои нетривијална полиномска релација меѓу овие два броја со рационални коефициенти.

Џон Харисон (1693—1776) создал музички систем организиран од $π$ . Овој Луси тјунинг систем, (поради единството на математичките својства на бројот $π$ ) може да ги преслика сите музички интервали, хармонии и хармоники. Ова наложува дека користењето на $π$ може да добие попрецизен модел како во музичките така и во другите вибрациони системи.

Природата на бројот $π$

Во хиперболичната геометрија, збирот на аглите на триаголник може да биде помал или поголем од $π$ радијани, а односот на обиколка на кругот и неговиот пречник може да се разликува од $π$ . Ова не ја менува неговата дефиниција, но влијае на многу формули каде $π$ се појавува. Па, особено обликот на универзумот не влијае на $π$ ; $π$ не е физичка константа, туку математичка константа, дефинирана независно од некои физички мерења. Причината зошто $π$ се појавува така често во физиката е едноставно поради тоа што се содржи во многу физички модели. На пример, Кулоновиот закон:

F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{r^{2}}}

.

Овде, $4\pi r^{2}\,$ е плоштина на топка со полупречник r. Во оваа форма, ова е погоден начин за опишување на инверзната квадратна врска меѓу силата и растојанието r од изворот точка. Се разбира дека би било можно овој закон да се опише на друг начин, но сепак ова е најсоодветниот начин. Ако го користиме Планковото електризирање, Кулоновиот закон може да се опише како $F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$ за што се јавува потребата од $π$ .

Ден на бројот пи

ПИ-та од јаболка на Институтот за информатика при УКИМ, Скопје

Денот на бројот пи и Денот на апроксимацијата на бројот пи се два празника кои се слават помеѓу математичарите ширум светот, а со кои се одбележува важноста на бројот $π$ . Денот на бројот $π$ во математичкиот свет се слави секој 14 март, зашто ако го напишете датумот во облик на м.дд тогаш се добива наједноставната апроксимација на бројот $π$ : 3,14. Во некои земји каде датумот се запишува во формат дд.мм вообичаено како ден на бројот $π$ се одбележува 22 јули, односно 22/7.

Еден од обичаите на денот е да се прави празнична пита која, со своето име, го симболизира бројот пи.

Пи како тема во уметноста и во популарната култура

„Бројот пи“ - песна на полската поетеса Вислава Шимборска.^[12]

Поврзано

Надворешни врски

Цифри

http://www.zenwerx.com/pi.php Архивирано на 9 март 2008 г. — околу 2 мегабајти во должина.
Пи до пет милиони места на Kick Books Архивирано на 11 јануари 2007 г.
http://www.gutenberg.net/etext/50 Архивирано на 1 јули 2004 г.
Пребарајте ги првите 200 милиони цифри на $π$ за произволни низи на броеви
Изворен код за пресметување на цифрите на $π$ Архивирано на 25 септември 2007 г.
Светска ранг листа за пи — Список на многу луѓе кои меморизирале голем број на цифри од $π$ .

Општо

Радоста на пи од Дејвид Блатнер
Џеј Џеј О’Конор и Е. Ф. Робертсон: Историја на пи. Проект на Mac Tutor
Доказ дека $π$ е ирационален
Многу формули за $π$ на MathWorld
PlanetMath: Пи Архивирано на 24 јануари 2010 г.
Наоѓање на вредноста на $π$
Определување на $π$ на cut-the-knot
Животот на пи од Џонатан Борвајн Архивирано на 7 декември 2006 г.
BBC радио програма за $π$
Децимални делови на пи и поврзани врски на On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Статистички информации за пи Архивирано на 9 јануари 2010 г. засновани на 1,2 билиони цифри на пи

Наводи

↑ About Pi. Ask Dr. Math FAQ
↑ Рудин стр. 183
↑ „архивски примерок“. Архивирано од изворникот на 2012-01-23. Посетено на 2010-01-17.
↑ Beckmann, Petr (1976). A History of $π$ . St. Martin's Griffin. ISBN 0-312-38185-9.
↑ „Archimedes' constant $π$ “. Посетено на 2007-11-04.
↑ http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html
↑ Aleff, H. Peter. „Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi“. recoveredscience.com. Архивирано од изворникот на 2007-10-14. Посетено на 2007-10-30.
↑ ^8,0 ^8,1 O'Connor, J J; E F Robertson (2001-08). „A history of Pi“. Посетено на 2007-10-30. Проверете ги датумските вредности во: |date= (help)
↑ Charles Hutton (1811). Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms. London: Rivington. стр. 13.
↑ The New York Times: Even Mathematicians Can Get Carried Away
↑ ^11,0 ^11,1 „The constant $π$ : Ramanujan type formulas“. Посетено на 2007-11-04.
↑ Vislava Šimborska, Izabrane pesme. Beograd: Treći trg, 2014, стр. 213-214.

Статијата „Пи“ е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии).

[1] About Pi. Ask Dr. Math FAQ

[2] Рудин стр. 183

[3] „архивски примерок“. Архивирано од изворникот на 2012-01-23. Посетено на 2010-01-17.

[4] Beckmann, Petr (1976). A History of $π$ . St. Martin's Griffin. ISBN 0-312-38185-9.

[5] „Archimedes' constant $π$ “. Посетено на 2007-11-04.

[6] ttp://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html

[7] Aleff, H. Peter. „Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi“. recoveredscience.com. Архивирано од изворникот на 2007-10-14. Посетено на 2007-10-30.

[ahop-8] 8,0 ^8,1 O'Connor, J J; E F Robertson (2001-08). „A history of Pi“. Посетено на 2007-10-30. Проверете ги датумските вредности во: |date= (help)

[9] Charles Hutton (1811). Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms. London: Rivington. стр. 13.

[10] The New York Times: Even Mathematicians Can Get Carried Away

[rad-11] 11,0 ^11,1 „The constant $π$ : Ramanujan type formulas“. Посетено на 2007-11-04.

[12] Vislava Šimborska, Izabrane pesme. Beograd: Treći trg, 2014, стр. 213-214.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Пи

Буквата π