Во математиката , поточно во математичката анализа , алтернативен назив за формулата на Њутн -Лајбниц . Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл , односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.
Црвената засенчана област е блиску до -{h }- патот -{f (x )}-. Атернативно кога функциите A (x ) би биле познати, и двете површини би биле A (x + h ) − A (x ). Овие две вредности се апроксимативно еднакви, особено за малото -{h }-. Иако теоремата е позната како Формула на Њутн-Лајбниц , првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638 -1675 .
Формулација на теоремата
уреди
Формално, теоремата е зададена на следниов начин:
Нека [ a , b ] ⊆ R {\displaystyle \ [a,b]\subseteq \mathbb {R} } е затворен конечен интервал. Нека на овој интервал е определена функција f : [ a , b ] → R {\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} } , нека оваа функција е интеграбилна на [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} и нека функцијата F {\displaystyle \ F} е примитивна функција за f {\displaystyle \ f} на [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} . Тогаш важи равенството: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)} или почесто запишано како:
∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) | a b {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|_{a}^{b}}
Доказот на тврдењето е следниов:
Нека ϵ > 0 {\displaystyle \ \epsilon >0} е фиксен. Бидејќи функцијата f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} е интеграбилна на интервалот [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} , според Римановата дефиниција на определен интеграл , за тој ϵ {\displaystyle \ \epsilon } , постои δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} такво што за секоја поделба T : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b {\displaystyle T:\,\,a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b\,\,\,} на интервалот и секој избор на точките ξ i ∈ [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle \ \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]} важи:
| ∑ i = 0 n − 1 f ( ξ i ) Δ x i − ∫ a b f ( x ) d x | < ϵ 2 {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}} Нека F ( x ) {\displaystyle \ F(x)} е примитивна функција на функцијата f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} на дадениот интервал. Тогаш според теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки ψ i ∈ [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle \psi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]} така што важи:
F ( x i + 1 ) − F ( x i ) = F ′ ( ψ i ) ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=F^{\prime }(\psi _{i})(x_{i+1}-x_{i})} односно, бидејќи F {\displaystyle \ F} е примитивна на f {\displaystyle \ f} , може да запишеме:
F ( x i + 1 ) − F ( x i ) = f ( ψ i ) ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=f(\psi _{i})(x_{i+1}-x_{i})} Тогаш, ако сумираме за i = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 {\displaystyle i=0,1,2,...,n-1} , следи:
∑ i = 0 n − 1 f ( ψ i ) Δ x i = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}=F(b)-F(a)} Од друга страна и точките ψ i ∈ [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle \psi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]} се „произволни “, исто како и точките ξ i ∈ [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]} , па и за нив е исполнето неравенството :
| ∑ i = 0 n − 1 f ( ψ i ) Δ x i − ∫ a b f ( x ) d x | < ϵ 2 {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}} Тогаш, конечно, имаме:
| ∑ i = 0 n − 1 f ( ξ i ) Δ x i − ( F ( b ) − F ( a ) ) | = | ∑ i = 0 n − 1 f ( ξ i ) Δ x i − ∑ i = 0 n − 1 f ( ψ i ) Δ x i | = {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-(F(b)-F(a))\right|=\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}\right|=} | ∑ i = 0 n − 1 f ( ξ i ) Δ x i − ∫ a b f ( x ) d x − ∑ i = 0 n − 1 f ( ψ i ) Δ x i + ∫ a b f ( x ) d x | ≤ {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}+\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq } | ∑ i = 0 n − 1 f ( ξ i ) Δ x i − ∫ a b f ( x ) d x | + | ∫ a b f ( x ) d x − ∑ i = 0 n − 1 f ( ψ i ) Δ x i | < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|+\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon } од каде следи:
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ( x ) | a b {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}} ,каде F {\displaystyle \ F} е една примитивна функција на f {\displaystyle \ f} на интервалот [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Со тоа доказот е завршен.