Алтернативен ред

Алтернативен ред е бесконечен ред во математиката од обликот:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},$

каде што a_n ≥ 0 (или a_n ≤ 0) за сите n. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума“.

Лајбницов критериум

Главна статија: Лајбницов критериум

Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите a_n монотоно конвергираат до 0.

Доказ

Да претпоставиме дека низата $a_{n}$ конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако $m$ е непарен број $m<n$, проценката $S_{m}-S_{n}<a_{m}$ може да се добие преку следнава пресметка:

${\begin{aligned}S_{m}-S_{n}&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}\end{aligned}}$

Бидејќи $a_{n}$ е монотоно опаѓачка низа, членовите $-(a_{m}-a_{m+1})$ се негативни. На тој начин се добива последното неравенство $S_{m}-S_{n}\leq a_{m}$. На сличен начин може да се докаже дека $-a_{m}\leq S_{m}-S_{n}$. Бидејќи $a_{m}$ конвергира до $0$, делумните суми $S_{m}$ сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај $m$ да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција

Апсолутна конвергенција

Редот $\sum a_{n}$ конвергира апсолутно ако редот $\sum |a_{n}|$ конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

• Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.

Доказ

Да претпоставиме дека редот $\sum a_{n}$ е апсолутно конвергентен. Тогаш, $\sum |a_{n}|$ е конвергентен и следува дека $\sum 2|a_{n}|$, исто така, конвергира. Бидејќи $0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|$, редот $\sum (a_{n}+|a_{n}|)$ конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот $\sum a_{n}$ конвергира како разлика од двата конвергентни реда, $\sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|$.

Условна конвергенција

Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.

На приер, хармонкискиот ред:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!$

дивергира, додека алтернативниот облик од редот:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!$

конвергира според тестот за алтернативни редови.

Примери

Едноставен пример на алтернативен ред е хармонискиот ред со променлив знак:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+-\ldots =\ln 2$

во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots \to \infty .$

Веројатно најпознати алтернативни редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:

$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+-\ldots$

$\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+-\ldots .$

Поврзано

• Ред (математика).